CHAPITRE 1
Introduction
1.1. Position et origine du probl`eme
Soit V une vari´ et´ e projective efinie sur un corps global K, i.e. un corps de
nombres ou le corps de fonctions d’une courbe projective, lisse et eom´etriquement
int` egre, efinie sur un corps fini. Soit H une hauteur exponentielle relative ` a un
fibr´ e en droites ample. Alors pour tout eel B le nombre
(1.1.1) nV,H (B) = # {x V (K), H(x) B}
est fini. Si l’ensemble V (K) est dense pour la topologie de Zariski, la quantit´e
nV,H (B) tend donc vers l’infini quand B tend vers l’infini. Une question natu-
relle est alors d’essayer de ecrire le comportement asymptotique de la quantit´e
nV,H
(B), en d’autres termes le comportement asymptotique du nombre de points
de hauteur born´ ee. On cherche notamment ` a interpr´ eter cette description en termes
de la eom´ etrie de la vari´ et´ e V . C’est l’objet d’un programme initi´ e par Manin et
ses collaborateurs, qui s’est ev´ el´ e extrˆ emement riche et ouvert : pour la v´erification
des pr´ edictions de Manin pour des classes particuli` eres de vari´ et´ es, des techniques
tr` es diverses ont pu ˆ etre employ´ ees. Ces pr´ edictions (raffin´ ees par Peyre puis Baty-
rev et Tschinkel) sont maintenant ´ etablies pour plusieurs classes de vari´ et´ es. Nous
renvoyons le lecteur aux textes [Pey02] et [Pey03b] pour un ´ etat en´ eral de la
question aux alentours de 2003 et les ef´ erences de nombreux travaux sur le sujet.
On pourra ´ egalement consulter [Bro07] pour un ´ etat des lieux ecent concernant
le cas des surfaces.
Soulignons que la tr` es grande majorit´ e de ces travaux se placent dans le cas o` u K
est un corps de nombres. Ici nous nous int´ eressons au cas o` u K est de caract´eristique
non nulle, cas encore peu explor´ e dans la litt´ erature. Avant toute chose, nous allons
pr´ eciser l’une des pr´ edictions de Manin concernant le comportement asymptotique
de nV,H (B), dans le cas o` u le corps de base est un corps de nombres. Elle peut
s’´ enoncer de la mani` ere suivante.
Question 1.1. Soit V une vari´ et´ e projective et lisse efinie sur un corps de
nombres K. On suppose que la classe du faisceau anticanonique est ` a l’int´ erieur du
one effectif, et que l’ensemble V (K) des points rationnels de V est dense pour la
topologie de Zariski. Soit t le rang du groupe de eron-S´ everi de V . Soit H une
hauteur relative au faisceau anticanonique. Existe-t-il un ouvert de Zariski non vide
U de V et une constante C 0 tels qu’on ait
(1.1.2) nU,H (B)
B→+∞
C B
log(B)t−1
?
La restriction ` a un ouvert U ´ eventuellement strict de V est ecessaire en raison
de l’existence possible de ferm´ es acccumulateurs, dont un prototype est donn´ e par
les diviseurs exceptionnels sur les surfaces de del Pezzo.
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