4 DAVID BOURQUI
Une de motivations de ce travail est que le probl` eme analogue sur les corps de
nombres a ej` a ´ et´ e trait´ e avec succ` es1, qui plus est de deux mani` ere diff´ erentes :
Batyrev et Tschinkel ont emontr´ e dans [BT95] et [BT98] que la eponse ` a la
question 1.4 ´ etait positive pour les vari´ et´ es toriques, en exploitant la structure de
groupe du tore pour utiliser des techniques d’analyse harmonique. Par la suite Sal-
berger a red´ emontr´ e dans [Sal98] le esultat dans un cadre plus restreint (vari´ et´es
toriques eploy´ ees, efinies sur Q, de faisceau anticanonique globalement engendr´e)
mais par une ethode compl` etement diff´ erente bas´ ee sur l’usage de la description
explicite des torseurs universels au-dessus des vari´ et´ es toriques.
Dans [Bou02] et [Bou03], nous avons montr´ e comment, en s’inspirant de la
ethode de Salberger, on pouvait montrer que la eponse ` a la question 1.6 ´etait
positive pour les vari´ et´ es toriques eploy´ ees efinies sur un corps de fonctions quel-
conque (sans hypoth` ese sur le faisceau anticanonique).
Dans ce texte, nous adaptons au cas fonctionnel l’approche utilis´ ee par Batyrev
et Tschinkel dans [BT95] et [BT98], pour ´ etendre le esultat aux vari´ et´ es toriques
non ecessairement eploy´ ees. La sous-section suivante etaille cette adaptation.
Ce texte contient ´ egalement une pr´ esentation etaill´ ee de la emonstration du
esultat de Batyrev et Tschinkel, les deux emonstrations ´ etant pr´ esent´ ees en pa-
rall` ele. La raison de ce choix est au moins double : tout d’abord, il permet de bien
mettre en ´ evidence les analogies et les diff´ erences qui existent dans le traitement du
calcul de la fonction eta des hauteurs des vari´ et´ es toriques entre le cas des corps
de nombres et le cas des corps de fonctions. Ensuite, pour autant qu’il nous soit
permis d’en juger, ce choix peut s’av´ erer utile ` a ceux qui esirent comprendre en
etail la emarche de Batyrev et Tschinkel, les articles [BT95] et [BT98] pouvant
s’av´ erer d’un abord un peu ardu et elliptique pour le lecteur non averti.
Remerciements
Je remercie chaleureusement Antoine Chambert-Loir, Jean-Louis Colliot-
Th´ el` ene et Emmanuel Peyre pour leurs remarques, corrections et suggestions concer-
nant ce texte. J’ai envers le rapporteur une reconnaissance toute particuli` ere pour
sa lecture minutieuse et ses innombrables corrections et suggestions.
1.2. L’adaptation de la ethode de Batyrev et Tschinkel en
caract´ eristique positive
Dans cette section, nous esumons bri` evement la ethode utilis´ ee dans [BT98]
et [BT95], en expliquant quelles parties de la emonstration ecessitent une mo-
dification en caract´ eristique non nulle.
La premi` ere ´ etape consiste ` a efinir explicitement un syst` eme de hauteurs puis
` a l’´ etendre ` a l’espace ad´ elique associ´ e au tore. La construction est strictement la
eme dans le cas fonctionnel. Elle est rappel´ ee dans la section 3.2 (nous corrigeons
au passage une erreur de Batyrev et Tschinkel dans la efinition des hauteurs locales
pour les places ramifi´ees).
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A ce stade, il faut ej` a noter que la topologie de l’espace ad´ elique associ´ e au
tore a des propri´ et´ es diff´ erentes dans chacune des deux situation. Moralement, en
fait, la situation est plus agr´ eable en caract´ eristique positive : beaucoup des groupes
1 C’´ etait ´ egalement le cas pour les vari´ et´ es de drapeaux.
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