INTRODUCTION
L'objet de ce travai l es t d'appliquer les methode s de la theori e des
p r o c e s s u s de F e l l e r , de la theori e des martingale s et de la theori e du
potentiel aux probleme s de controle des diffusions.
L ' i n t e r e t de l'utilisation de telles methode s es t clair : les probleme s
que nous resolvons ici sont plus generau x que les probleme s deja r e s o l u s ;
de plus la technique utilise e es t applicable au controle de tous les types de
diffusions. Le resultat s obtenus ont done une forme t r e s gene r a l e , et
peuvent difficilement etr e a m e l i o r e s .
Un instrumen t essentie l de ce travai l es t auss i l'analys e convexe.
Mais paradoxalement , les hypotheses de convexite ne sont utilisee s que dans
une etape i n t e r m e d i a t e des demonstration s des differents r e s u l t a t s , c a r
ces hypotheses sont ensuite levees .
P o u r tous les probleme s t r a i t e s , nous montron s l'existenc e d'un
controle optimal "markovien" , c'es t a dire ne dependant que de l'eta t
" p r e s e n t " du s y s t e m e , qui es t generalemen t meilleu r que tout controle
dependant auss i du " p a s s e " du system e considere .
On r e m a r q u e r a egalement- - et e'es t peutetr e ce qui fait la difficulte
majeur e du controle des diffusions - - q u e les connaissance s prealable s qui
sont requise s du lecteu r sont a p r e m i e r e vue i m p o r t a n t e s : la Theori e des
p r o c e s s u s stochastiques , des martingale s et des s u r m a r t i n g a l e s exposee
dans [9] (Chapitres I "a VIII), la Theori e de I'integral e stochastique de [ l l ] ,
la Theori e des p r o c e s s u s de Marko v dans [10] (Chapitres XII, XIII, et XV),
certaine s propriete s essentielle s des fonctionnelles multiplicative s et
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