THEORIE PROBABILISTE DU CONTROLE DES DIFFUSIONS 3
oscillatoires . On identifiera M "a 1'une quelconque de ces v e r s i o n s .
Si M es t an elemen t de c/#, pa r le t h e o r e m e 3 de [ l l ] (p. 77), on sait
qu'il existe un p r o c e s s u s continu c r o i s s a n t nul en t = 0 unique, note
( M , M ) , tel que M - M , M )
L
es t une martingale .
Si M et N sont deux martingale s de c a r r e integrable , on pose :
(1.2) M,N ) = - i « M + N , M + N - M,M - N,N )
Definition 1-3: On dit que deux martingale s de c a r r e integrable M et
N sont orthogonales si MN es t une m a r t i n g a l e .
On sai t alor s p a r [ l l ] (p. 77) que pour que M et N soient orthogonales,
il faut et il suffit que ( M , N ) soit le p r o c e s s u s nul.
Si M es t un elemen t de M, et si H es t un p r o c e s s u s t r e s bien
m e s u r a b l e (c'es t \ dir e m e s u r a b l e p a r rappor t "a la trib u 2T(^) defini
en [9]-VIII-13) tel que, pour tout t :
t
(1. 3) E J
H2
dM,M) + oo
0 s S
on peut definir une martingal e de c a r r e integrable unique, notee H - M ,
telle que pour tout N de ^M, on ait:
t
(1.4) H - M , N ) = J H dM,N
t -Q s s
Cela result e en effet de [ l l ] (p. 79).
On noter a souvent la martingal e H - M sous la forme :
Previous Page Next Page