THEORIE PROBABILISTE DU CONTROLE DES DIFFUSIONS 3 oscillatoires . On identifiera M "a 1'une quelconque de ces v e r s i o n s . Si M es t an elemen t de c/#, pa r le t h e o r e m e 3 de [ l l ] (p. 77), on sait qu'il existe un p r o c e s s u s continu c r o i s s a n t nul en t = 0 unique, note ( M , M ) , tel que M - M , M ) L es t une martingale . Si M et N sont deux martingale s de c a r r e integrable , on pose : (1.2) M,N ) = - i « M + N , M + N - M,M - N,N ) Definition 1-3: On dit que deux martingale s de c a r r e integrable M et N sont orthogonales si MN es t une m a r t i n g a l e . On sai t alor s p a r [ l l ] (p. 77) que pour que M et N soient orthogonales, il faut et il suffit que ( M , N ) soit le p r o c e s s u s nul. Si M es t un elemen t de M, et si H es t un p r o c e s s u s t r e s bien m e s u r a b l e (c'es t \ dir e m e s u r a b l e p a r rappor t "a la trib u 2T(^) defini en [9]-VIII-13) tel que, pour tout t : t (1. 3) E J H2 dM,M) + oo 0 s S on peut definir une martingal e de c a r r e integrable unique, notee H - M , telle que pour tout N de ^M, on ait: t (1.4) H - M , N ) = J H dM,N t -Q s s Cela result e en effet de [ l l ] (p. 79). On noter a souvent la martingal e H - M sous la forme :
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