INTRODUCTION
Soit G un groupe de Lie resoluble simplement connexe de type /,
GA
le
dual unitaire de G, i.e. l'ensemble, ou 1'espace, des (classes d'isomorphisme de)
representations unitaires irreductibles de G. La methode des orbites, initiee par
Kirillov [39] dans le cas nilpotent, et poursuivie, entre autres, par Bernat, Pukan-
szky, Auslander-Kostant [l], Duflo [26], donne, d'une part, une caracterisation
de ces groupes en termes de leur representation coadjointe, d'autre part une
parametrisation de GA, qui prend la forme d'une surjection GA —• 0* jG (cf. §0
pour les notations), la fibre au-dessus de 0 = G- f s'identifiant, aux revetements
metaplectiques pres, a Pensemble des caracteres de G(f) dont la restriction a
G(f)o est
e2t7r^,
c'est-a-dire a un tore de dimension rg(G(f)/G(f)o) (nous rap-
pellerons plus en detail la construction de Duflo au 2.2.
On peut done considerer que pour ces groupes, la phase de classification des
representations unitaires irreductibles (ou, ce quirevient au meme ici, des ideaux
primitifs de la C*-algebre de G) est terminee, et que l'on a une realisation satis-
faisante de ces representations. II semble que le moment soit venu d'entreprendre
en termes de la methode des orbites une etude plus poussee de C* (G) dans un es-
prit de "geometrie differentielle non-commutative", suivant les idees d' A. Connes
(cf. ^introduction de [19], par exemple). Les exemples montrent en effet que dans
des parametrisations naturelles
GA
se presente comme beaucoup plus qu'un sim-
ple espace topologique: ce serait plutot quelque chose comme une "variete an an-
tique", voire algebrique; d'autre part, on ne comprend (un peu) les phenomenes
geometriques qui sont en jeu que si l'on ne perd pas de vue la presence de l'anneau
non-commutatif C*(G) au-dessus de
GA.
C'est done la donnee a la fois de
GA
et de C*(G), ou d'un sous-anneau de C*{G) forme d'elements "plus reguliers",
comme anneau decompose au-dessus de lui, qui sera le veritable objet dual du
groupe G.
Disons tout de suite que pour nous ce vaste programme n'est encore pour
l'instant qu'un horizon lointain. Pour donner une idee des difficultes qui se
presentent, rappelons qu'en dehors du cas nilpotent, la continuity de la surjection
GA
Q*/G mentionnee ci-dessus est (a notre connaissance) un probleme ouvert.
II m'a tout de meme semble indispensable de donner les indications, tres vagues,
qui precedent, car elles constituent a mon sens une motivation puissante pour
entreprendre une etude approfondie de la notion de (7-module de longueur finie.
En effet, laissons-nous guider par le cas commutatif. Soit par exemple X
une variete C°°, compacte pour simplifier, et x un point de X. Soit C°°[X)
l'algebre involutive des fonctions C°° sur X a valeurs complexes, mx l'ideal de
C°°(X) forme des fonctions nulles en x, Cx = C°°(X)/mx. Alors il est bien
connu que ExtentX)i^x ^«) = l 1 1 1 ^/^)* s'identifie a 1'espace tangent en x a
X (c'est meme la definition de 1'espace tangent dans certaines presentations de la
geometrie differentielle, et en geometrie algebrique). Dans le meme ordre d'idees,
Recu par les editeurs 27 Janvier 1987 et, en forme revise 11 avril 1988.
l
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