§0. CONVENTIONS
(Mis a part les nos 0.2 et 0.6, ce paragraphe n'est a consulter qu'en cas de
besoin).
0 . 1 . Sauf mention du contraire, les espaces vectoriels sont complexes, sauf les
algebres de Lie, qui sont reelles. Les produits tensoriels et Horn sans indice sont
supposes pris sur C. Si E et Ef sont deux espaces localement convexes separes (en
abrege ELCS), on note Hom(£?, E1) Pespace des applications lineaires continues
de E vers E'\ sauf mention du contraire, on le munit de la topologie de la
convergence compacte. On note End(i£) pour Hom(i£, E).
On note ® le produit tensoriel projectif complete d'espaces de Frechet, (g)^ le
produit tensoriel hilbertien d'espaces de Hilbert.
0.2. Soit G comme dans Introduction, 0 = Lie(G) (notation 0.3).
Dans toute la suite, on fixe un ideal nilpotent n de 0 contenant [g, 0]; toutes nos
definitions (en particulier la notion d'espace de Schwartz de E, cf. §2) s'entendent
"relatives a n", et dependent souvent effectivement du choix de n. On pose
N = exp(n).
Si H C G est un sous-groupe connexe, J) Lie(i7), on prend, sauf mention
du contraire, dans f) Pideal nilpotent n n f); si C est un quotient simplement
connexe de G, 0; = Lie((7;) on prend dans g' l'image de n.
Appelons racines de $ les elements de ( 0 c / n c ) * donnant Paction de # dans
les sous-quotients simples de la representation adjointe. On fixe dans toute la
suite un sous-groupe de type fini V de ( 0 c / n c ) * contenant les racines de 0. Si f)
(resp. 0; = 0/q) est une sous-algebre de Lie (resp. un quotient) de 0, on prend
sauf mention du contraire dans (f}c/ n c n fyc)* (resp. dans ( 0 c / n c + ^c)*) le
sous-groupe des { 7 k 57 G T}. (resp. {7 G T t.q. 7|q = 0}). Dans le premier
cas, il resulte du "lemme de prolongement des valeurs propres" ([7] Lemme 6.4)
que le groupe ainsi defini contient les racines de J). Par abus de notation, on
garde en general la notation T.
(Bien entendu, on pourra prendre pour n le plus grand ideal nilpotent de 0, et
pour T, le sous-groupe de ( 0 c / n c ) * engendre par les racines; mais ces definitions
ne passent pas a la recurrence, et c'est pourquoi nous sommes obliges de "laisser
Hotter" un peu ces ingredients essentiels).
0.3. G r o u p e s d e Lie.
Sauf mention du contraire, Pexpression "simplement connexe" sous-entend
"connexe".
Soit A un groupe de Lie. On note A$ la composante neutre de A, Lie(.A)
son algebre de Lie. Soit a = Lie(^4), b une sous-algebre de Lie de a. On note
exp(b) le sous-groupe analytique de A d'algebre de Lie b (c'est un leger abus de
langage si b n'est pas exponentielle).
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