Proceedings of Symposia in Pure Mathematics
Volume 27, 1975
DEFORMATIONS LOCALEMENT TRIVIALES
DES VARIETES RIEMANNIENNES
L. BERNARD BERGERY, J. P. BOURGUIGNON, AND J. LAFONTAINE
Introduction. L'expose qui suit est une introduction a la theorie des deformations
localement triviales des varietes riemanniennes. C'est le resultat d'un travail en
commun des trois auteurs sur Particle d'E. Calabi: On compact Riemannian mani-
folds with constant curvature. I (Proc. Sympos. Pure Math., vol. Ill, 155-180(1961)).
Ce travail a fait l'objet d'une serie d'exposes au Seminaire de Geometrie Rieman-
nienne de M. Berger en 1971/72 a l'Universite de Paris VII, sauf le paragraphe IV
de la 2ieme partie et l'appendice, qui exposent des resultats demontres ulterieure-
ment (Fevrier 1973) par J. Lafontaine.
Une metrique riemannienne g sur une variete differentielle M admet en general
"beaucoup" de deformations. En effet, si M est compacte et si h est un tenseur
covariant symetrique d'ordre 2 sur M, la famille de metriques riemanniennes g +
th (pour t reel assez petit) est une deformation de g. Pour la theorie des deforma-
tions generales, on pourra se reporter aux travaux de D. Ebin (reference [8] de la
bibliographie de la seconde partie).
Nous nous interessons ici aux deformations qui preservent localement la struc-
ture riemannienne. La situation est alors completement differente, et les principaux
resultats sont des theoremes de rigidite, ou d'existence et de finitude. Le premier
travail dans cette voie est un article de E. Calabi sur les deformations des varietes
compactes a courbure constante. Par une adaptation de la theorie des deformations
de pseudo-groupes (rappelons qu'une metrique riemannienne a courbure constante
peut se definir a l'aide d'un pseudo-groupe), il se ramene au calcul de la cohomo-
logie a valeurs dans le faisceau 6 des champs de vecteurs de Killing, et donne une
AMS (MOS) subject classifications (1970). Primary 58H05, 53C10.
© 1975, American Mathematical Society
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http://dx.doi.org/10.1090/pspum/027.1/0388467
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