DEFORMATIONS LOCALEMENT TRIVIALES DES VARIETES RIEMANNIENNES 5
de M x D" sur lui-meme, respectant les fibres et induisant sur chaque fibre Mt
(t e D") une isometrie de (Mt9 gt) sur (Mt, gt).
DEFINITION
3. On appelera deformation produit la deformation telle que gt =
g V t e D; et deformation triviale toute deformation equivalente a la deformation
produit.
Nous supposerons toujours M paracompacte et connexe.
II. Deformations localement triviales. Comme il y a "beaucoup" de deformations
non equivalentes d'une structure riemannienne, nous allons nous restreindre ici a
certaines deformations particulieres, auxquelles on peut appliquer les methodes
employees dans la theorie des deformations des structures complexes [4].
DEFINITION
4. Une deformation sera dite localement triviale si tout point de M0
possede un voisinage W dans Kiel que p\w, W - p(W) = D, muni des structures
induites, soit une deformation triviale. Un tel ouvert W sera appele ouvert trivial!-
sant.
EXEMPLE
1. Toute deformation de
S1
ou de R est localement triviale pour toute
structure riemannienne.
EXEMPLE
2. Soit (M, g) une variete riemannienne compacte plate. Alors la de-
formation definie par gt = (1 + t)g est localement triviale mais n'est pas triviale
puisque, si d est le diametre de (M, g), le diametre de {Mu gt) est (1 +
t)l/2
x d.
PROPRIETES.
Une deformation localement triviale conserve les proprietes locales
de la structure riemannienne; par exemple: analyticite, locale homogeneite, locale
symetrie, ou courbure constante.
Mais elle ne conserve pas en general les proprietes globales (Exemple 2).
EXEMPLE
3. Soit V = {(/, x) e
R2
tels que —\xt + \},D l'axe des t et p
la projection naturelle de Ksur D. Alors p: V - D et les structures riemanniennes
induites par la structure canonique de
R2
definissent une deformation localement
triviale de la structure canonique de R, qui est complete, par des structures rieman-
niennes non completes (Figure 1).
FIGURE 1
A cause de cet exemple, nous prendrons la:
DEFINITION
5. Une deformation sera dite complete si la structure riemannienne
gt est complete quel que soit t dans D.
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