DEFORMATIONS LOCALEMENT TRIVIALES DES VARIETES RIEMANNIENNES 11
DEMONSTRATION. NOUS
n'allons donner ici que l'esquisse de demonstration
presentee par Griffiths dans le cas ou M est compacte. Pour le cas plus general du
theoreme, voir [5].
Les sections des faisceaux Gq sont les sections C°° de fibres vectoriels Eq sur Af,
sur lesquels les operateurs Dq sont des operateurs differentiels. Si on munit ces
fibres E* de produits scalaires C°°, on peut done former les adjoints D* des opera-
teurs D et les operateurs D D* + D* D sont alors elliptiques. En appliquant la
theorie des equations differentielles elliptiques comme dans [3], on trouve done
que:
(1) dim H*(Mt, 9t) ^ dim H*(M, 9) pour tout t dans un voisinage de 0 dans D.
(2) si dim H«(Mt, 9t) est independant de t, alors (Jt^D Hv(Mt, 9t) peut etre muni
d'une structure de fibre vectoriel sur V = M x D et H^(V, 9) est isomorphe a
l'espace des sections C°° de ce fibre. En particulier, si H\M, 6) = 0, alors
Hl(V,
9)
= 0 et 8 0. II ne reste plus qu'a appliquer le Theoreme 2.
VII. Utilisation de la cohomologie des groupes. Soit (M, g) une variete riemann-
ienne reguliere et complete. Son revetement universel riemannien (M, g) est
encore une variete riemannienne reguliere et complete. De plus, le faisceau 9 des
champs de vecteurs de Killing sur M est localement constant par regularity et
done constant puisque M est simplement connexe. Sa fibre est ©, l'algebre de Lie
de G le groupe des isometries de M. Le groupe r du revetement M M est un
sous-groupe discret de G; il agit done sur G par la representation adjointe de
G sur @. Le resultat suivant est connu:
PROPOSITION 4. //°(M, 9) = H°(r9 ©);
Hl(M,
9) = W(r, ©) et il y a une injec-
tion de
H2(r,
®) dans H\M, 9).
En particulier, on en deduit le:
THEOREME
6. Si (Af, g) est une variete riemannienne reguliere et complete et si
r = IIi(M) est fini, toute deformation localement triviale complete de (M, g) est
triviale.
DEMONSTRATION.
Si r est fini,
Hl(r,
G) = 0 et on applique le Theoreme 5.
REMARQUE
1. On voit en particulier que le revetement universel riemannien
(M, g) de (Af, g) variete riemannienne reguliere et complete n'a pas de defor-
mations localement triviales completes nontriviales. On peut done obtenir toutes
les deformations localement triviales completes de (Af, g) en prenant les quotients
de (Af, g) par les images de f7 pour les families a un parametre d'homomorphismes
injectifs de /Mans G, l'equivalence de deux deformations correspondant a la
conjugaison dans G par une famille a un parametre d'elements de G. On peut done
regarder les deformations des sous-groupes discrets des groupes de Lie (voir par
exemple [6]).
REMARQUE
2. Le groupe d'isometries G de (Af, g) est le centralisateur de f7 dans
G et son algebre de Lie © s'identifie a l'ensemble des elements de ® stables pour
Taction adjointe de f. On a done une injection de Amodules du Amodule trivial
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