DEFORMATIONS LOCALEMENT TRIVIALES DES VARIETES RIEMANNIENNES 19
11.1.
L'OPERATEUR TR.
On definit un endomorphisme TR du fibre bigradue
ZIA^O A*T*M ®
AqT*M
par la formule
TRF(XW..9XP-19
r0, V-, rq)=h(- \yF(xw..,xp-ly Yt, y0,-, V- Yq)
t = 0
si Fest dans la composante
ApT*M
®
AqT*M.
TR est bihomogene et de bidegre
(— 1, + 1), et indiqueque Ton fait un transfert a droite.
EXEMPLES. Si Fe T*M ® T*M,
TRF(Y0, Yx) = F(Y0, YJ - F(Yl9 Y0).
Si
FeA2T*M
®
A2T*M9
TRF{X, Y, Z, T) = F(X, Y9 Z, T) - F(X, Z, Y, T) + F(X r, 7, Z).
Pour un element decomposable u A v ® v v de /l
2
r*M ®
ApT*M,
TR(u A V ® H) =
W ® V A V V V ® W A W .
Un element tp de yl^r*M ®
AqT*M
est dit primitif a droite si TRcp = 0.
Ainsi, les elements primitifs a droite de T*M ® T*M sont les formes bilineaires
symetriques, et ceux de
A2T*M
®
A2T*M
les tenseurs de courbure. On a le
LEMME
6
(THEOREME
2
DE
[5]). TR est une application surjective de
Ap^xT*M
®
Aq~lT*M
dans
ApT*M
®
AqT*M
des que p q.
11.2. LES FAISCEAUX @q ET LES OPERATEURS DIFFERENTIELS Dq (q _• 2). La
restriction a
ApT*M
®
AqT*M
de la derivation covariante est un operateur dif-
ferentiel DP* de A*T*M ®
AqT*M
dans APT*M ®
AqT*M
® 7*M. On notera Dq
I'operateur differentiel de
A2T*M
®
AqT*M
dans
A2T*M
®
Aq+1T*M
obtenu en
antisymetrisant
D2q
par rapport aux q + \ derniers indices. Si une section locale
p de
A2T*M
®
AqT*M
s'ecrit
P = -^ S ft" A 0y ® 0,y,
(Ot)i^i^n etant un corepere local orthonorme, on a par un calcul direct
^? 9 = y S f t A 0y ® p'ij
avec
w n
tp'ij = fy
f
y + £ ft),* A ^ y + S ( ~ l ) '
+
tyi*
A
^
,
'
On definit de maniere analogue un operateur Dq de T*M ®
AqT*M
dans
T*M ®
A«+lT*M\
si ^ = 2?=i 0i ® 0i
e
st une section locale de T*M ®
AqT*M,
D'ql = 2 0,® ( # , - + S toy* A 0*Y
On verifie que le diagramme
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