20 L. BERNARD BERGERY, J. P. BOURGUIGNON AND J. LAFONTAINE
A2T*M
® A"T*M -—*—
TR
T*M g A" \iT*M-
D„
A2T*M
®
A"+lT*M
TR
-^±1— T*M g
A"+2T*M
est anticommutatif, et done que Dq transforme tout element primitif a droite en un
element primitif a droite ; et il est clair d'apres le paragraphe I que A transforme
toute forme bilineaire symetrique en un tenseur de courbure. Si on appelle
0q le sous-fibre de
A2T*M
®
AqT*M
forme par les elements primitifs a droite,
on prouve la generalisation suivante du Theoreme I:
THEOREME
II. Si (X, g) est a courbure constante, de dimension n,
i D0 A - Dn~i
o e
TX
& 02 $n o
est une resolution fine du faisceau 0 (on a pose D0 = 5*, et 0i =
02T*X,
notation
coherente d'apres II. 1).
D'apres le theoreme de Rham abstrait [13, Chapter 5] les groupes de coho-
mologie H^(X, 0) sont isomorphes aux groupes de cohomologie du complexe
A A
C™(TX)
c°°(0i(jr)) c°°(02(x)) ...
- ^ C-(0n(X)) 0
associe a la resolution.
Remarquons que tout notre calcul a repose sur des theoremes algebriques et
sur le lemme de Poincare. Mais le cas a courbure constante semble etre le seul ou
une telle reduction de la geometrie soit possible.
III. Un theoreme du type Hodge-de Rham pour les H^(X, 0). On pourra con-
suiter [13, Chapter 6] pour tout ce qui concerne les operateurs differentiels sur les
varietes et leurs symboles.
III. 1. SYMBOLES DES OPERATEURS Dq ET DE LEURS ADJOINTS FORMELS. L'opera-
teur 5* et son adjoint d' ont pour symboles respectifs
Tyd*(£) = uo^ et aud'(h) = h(u*,)
ou ue T*M, £ e TXM, et he
02T*M
(voir [4] ; il suffit de remarquer que 5* est la
derivee covariante symetrisee).
De l'expression de A donnee en 1.1, on deduit les symboles de A
e
* de D*,
^ ( A ) W ( X Y9Z,T) = i[u(X)u(Z)h{Y9T) + u(Y)u(T)h(X,Z)
- u(Y)u(Z)h(X,T) - u(X)u(T)h(Y,Z)l
au(Dt)(S)(X, Y) = 2S(W, X, u\ Y\
ou S e
A2T*M
®
A2T*M
et a les symetries d'un tenseur de courbure.
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