DEFORMATIONS LOCALEMENT TRIVIALES DES VARIETES RIEMANNIENNES 21
Les formules de II.2 donnent immediatement l'expression de symboles de Dq
et D* (q ^ 2) pour les tenseurs decomposables:
(Tu(Dq)(a ® j8) = a ® (u A /3), t7«(Z)*) = a ® intw,/3.
Les proprietes suivantes en resultent.
LEMME 7. Le noyau de o~t(D^) est Vensemble des h de
02T*M
qui peuvent s'ecrire
h = uot, oil ue T*M.
DEMONSTRATION.
II est immediat qu'un tel h appartient au noyau. Reciproque-
ment, pour que le tenseur de courbure ot(D^)h soit nul, il faut et il suffit que
7,(A)(A)(*, Y, X, Y) = {t(X)fh(Y, Y) + (t(Y)fh(X, X) - 2t(X)t(Y)h(X, Y)
le soit, quels que soient Xct Fdans TXM, puisqu'un tenseur de courbure est deter-
mine par la courbure sectionnelle [12].
Si on prend X dans Ker(w) et Y =
tn,
on voit que ft s'annule sur Ker(/); h est
bien de la forme cherchee.
LEMME
8. Pour tout t ^ 0 de T*M, on a
Ker at(Dq) f| Ker at{D*-x) = 0 (1 ^ q ^ n).
DEMONSTRATION,
(a) Si q = 1, il suffit de verifier, d'apres le lemme precedent,
que si at(d')(£bot) = 0, £ = 0. Mais si {^t){t\ X) = i(t(£)t(X) + ^WUI 2 )es t
nul pour tout A'de TXM, £* s'annule sur Ker(/) et sur t*, done sur TXM tout entier.
(b) Cas ou q = 2. Pour tout tenseur de courbure S appartenant a Ker ot(D*),
la 2-forme S(/#, X, /*, Y) est nulle. Si le tenseur
(at(D2)S)(X,Y,Z,TiU) = S(X,Y,Z,T)t(U) + S(X,Y,U,Z)t(T) + S(X,Y,T,U)t(Z)
est nul, il en est alors de meme de la 3-forme Sit", Y, T, U) (faire X = Z = t*)9
puis de S(X, Y, Z, T) (faire U = /*).
(c) Cas ou q 2. La propriete a demontrer est la consequence de l'egalite
at(D*Dq -f Dq-iD*~i)
=*M2
Id; on verifie facilement que les deux membres
prennent la meme valeur sur les tenseurs decomposables.
III.2. COHOMOLOGIE DE 6 ET OPERATEURS ELLIPTIQUES. Rappelons le theoreme
fondamental de la theorie des operateurs elliptiques [13, Chapter 6].
THEOREME.
Soit A un operateur elliptique de C°°(A) dans C°°(B), A et B etant deux
fibres vectoriels riemanniens de meme base compacte. Alors
C°°(A) = K e r J e
1
Im J*
(somme directe topologique pour la topologie de Frechet de C°°(A), la decomposition
etant orthogonale pour le produit scalaire global), et Ker A est de dimension finie.
Nous nous servirons aussi du lemme suivant:
LEMME
9. Soit P un operateur differentiel de C°°(4) dans C°°(B), A et B satisfaisant
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