DEFORMATIONS LOCALEMENT TRIVIALES DES VARIETES RIEMANNIENNES 25
X = P/T, comme variete riemannienne et comme variete complexe (cf. [7, §§4
et 5]). Soit h une 2-forme bilineaire symetrique sur X a valeurs complexes, verifiant
les equations tv{h) = 0, 5'h = 0. La projection canonique p de P sur X etant un
revetement riemannien, la 2-forme p*h verifie les memes equations sur p. D'apres
la remarque 2 suivant la proposition, p*h verifie encore ces equations si on rem-
place la metrique
y~2(dx
(•) dx + dy (•) dy) par la metrique plate dx (•) dx + dy (•) rfy.
Dans ces conditions, /?*/?, qui est de trace nulle, peut s'ecrire
p*h = fdz (•) dz + /'dz (•) dz, oufctf sont des fonctions C°°.
La nullite de d'(p*h) equivaut alors a
Hf + / ' ) + iUf ~ / ' ) = 0, 13,(/ - / ' ) - 32(/ + / ' ) = 0
ou on a designe par d\ et 32 les operateurs de derivation par rapport a x et a y.
On a done
3i/ + / 3
2
/ = 0 et dxf' - i d2f = 0.
Autrement dit, / est holomorphe e t / ' antiholomorphe. Les formes fdz (•) dz et
f'dzQdz sont alors /Mnvariantes, puisque p*h Test, et se redescendent sur X.
Les cas ,K = 0, K 0 se traitent d'une facon analogue.
COROLLAIRE 1. Si X est orientable et de genre y 1,
Hl(X,
6) =
R6r~6.
DEMONSTRATION.
II sufflt de remarquer que l'espace vectoriel des differentielles
quadratiques holomorphes sur X est alors de dimension complexe 3y 3, d'apres
le theoreme de Riemann-Roch [10, § 7].
COROLLAIRE 2. Si X est non orientable et de genre y 1, H\X, 6) ^
R3r~*.
DEMONSTRATION.
II existe un sous-groupe
Z7,
proprement discontinu et sans
points fixes, du groupe engendre par G et la transformation z -+ z, tel que X
P/T, et un sous-groupe distingue P de
T7,
d'indice 2, tel que le revetement orientable
X de X soit P/P [6, tome 3, Chapitre 16, §28, Exercice 2]. II en resulte que toute
forme bilineaire symetrique complexe h sur qui est Ainvariante et verifient 5'h =
Tr h = 0 peut s'ecrire h = h' + y*h\ oil h' est une differentielle quadratique
holomorphe /Mnvariante et y une transformation de F renversant l'orientation;
h ne depend pas du choix de y dans r—Pet l'application h-+h' est une bijection.
Passons maintenant au calcul de
H2(X,
0), qui, d'apres le Lemme 8 et le Theo-
reme III bis, est isomorphe a Ker(D*). En dimension 2, toute section globale de
02(X) s'ecrit d'une maniere unique sous la forme/S, o u / e C°°(X) et S(X, Y, Z, T)
= g(X, Z)g(Y, T) - g(X, T)g(Y, Z), Dt(fS) = 2r'*(/), avec, d'apres [4, §5],
z'*(f) = Wf)g + 8*df-Kfg.
En prenant la trace des deux membres, on voit que pour que r'*(/) = 0, il est neces-
saire que Af 2Kf = 0. Distinguons les differents cas:
(a) La sphere S2. La premiere valeur propre du laplacien est 2K, elle est de mul-
tiplicite 3, et les fonctions propres correspondantes satisfont a la relation d*df =
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