DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B
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cune de ces orbites est une sous-variete de G/B isomorphe a un espace
numerique a am certain nombre de dimensions. L'une de ces orbites (et une
seule) se reduit a un point e0, qui est le seul point de G/B invariant par les
operations de B. On peut obtenir toutes les orbites de la maniere suivante.
Soit T un tore maximal de G contenu dans B, et soit N(T) son normal-
isateur; le groupe N(T)/T est alors un invariant du groupe G qu'onappelle
son groupe de Weyl, et que nous designerons par W. Pour tout element w
de W, soit s(w) un representant de w dans N(T); nous poserons
e(w) = s(w)e0.
Les orbites du groupe B sont alors les ensembles Be(w); ces ensembles sont
mutuellement disjoints. L'adherence de Forbite Be(w) dans G/B (au sens
de la topologie de Zariski) est une sous-variete fermee que nous designerons
par X(w). Elle est evidement stable par les operations de B, et se decompose
par suite en Forbite Be(w) et en un certain nombre d'orbites
Be(wr);
de
plus, si Be(w') c X(w) on a aussi X(w') c X(w). L'objet du present travail
est d'etudier les varietes X(w). Nous montrons d'abord comment on peut
reduire a un probleme purement combinatoire la question de savoir a quelle
condition on a X(w') c X(w). Nous etablissons aussi que X(w) ne possede
aucune variete singuliere de codimension 1; il parait probable que les X(w)
sont toujours des varietes non singulieres, mais nous ne sommes pas parvenus
a etablir ce point. Par ailleurs, nous etablissons que les classes d'equivalence
des cycles X(w), relativement a Fequivalence rationnelle definit par Chow
forment une base (i.e. un systeme libre de generateurs du groupe additif
de Fanneau d'homologie de G/B defini par Chow). II resterait alors a
determiner explicitement la multiplication dans Fanneau de Chow; nous
ne resolvons pas completement ce probleme, mais nous montrons comment
on peut calculer les produits d'intersection de ceux des X(w) qui sont de
codimension 1 dans G/B (ou plutot de leurs classes d'equivalence) avec les
autres varietes X(w') (de dimensions quelconques). Ce resultat partiel suffit
neanmoins a montrer que pour les groupes G d'une diagramme de Dynkin
determine, la structure de Fanneau d'homologie ne depend pas de la car-
acteristique du corps de base, de sorte que cet anneau est le meme que celui
relatif au groupe de meme type (i.e. de meme diagramme de Dynkin) que G
construit sur le corps des complexes; les resultats que Fon peut obtenir par
voie transcendante sur les anneaux de Chow des groupes complexes semi-
simples peuvent done se transporter au cas d'une caracteristique quelconque.
Notations
Pour toute racine a , nous choisirons un isomorphisme r
a
du groupe
additif K sur un sous-groupe de G associe a la racine a, i.e. tel que Fon ait
pour tout t e T et tout £ e K. Nous designerons par Pa le groupe ra(K).
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