4 C. CHEVALLEY
On sait que les groupes Pa et P_a sont contenus dans un sous-groupe semi-
simple Za de dimension 3 de G, qui n'admet aucun sous-groupe distingue
de dimension 0 distinct de lui-meme; Za est le groupe derive du cen-
tralisateur de la composante connexe de Pelement neutre dans le groupe des
elements t e T tels que a(t) = 1; il admet un tore maximal Ta et un seul
contenudans T. Le groupe ZaDN(T) contient un element sa noncontenu
dans T; cet element est determine a un element pres de Ta ; sa classe mod-
ulo T est la symetrie w(a) par rapport a la racine a. Nous supposerons les
representants s(w) dont nous avons parte plus haut choisis de telle maniere
que s(w(a)) = sa pour tout racine a . Le groupe Za est engendre par Pa et
P_a; en effet, le normalisateur du groupe engendre par Pa et P_a contient
evidement T et s , et est par suite Z tout entier en vertu du theoreme de
Bruhat; le groupe engendre par Pa et P_a est done un sous-groupe distingue
ferme de dimension 0 de Za , ce qui demontre notre assertion.
Nous designerons par X(T) le groupe forme des homomorphismes ra-
tionnels de T dans le groupe K* des elements ^ 0 de K; e'est un groupe
abelien libre de rang n = dim T, que nous plongerons dans Fespace vecto-
riel Q®X(T) sur le corps Q des nombres rationnels. On peut ordonner
le groupe X(T) (et par suite aussi Fespace Q g X(T)) de telle maniere
que les racines a qui sont 0 relativement a cette relation d'ordre soient
celles pour lesquelles Pa c B. Les racines positives sont des combinaisons
lineaires a coefficients entiers 0 de n d'entre elles, dites racines fondamen-
tales\ nous designerons les racines fondamentales par a{, ... , an ; si a = at,
nous poserons Za = Z{, w{a) wf; les elements wi engendrent le groupe
de Weyl. Le groupe X(T) est en dualite naturelle avec le groupe T(T) des
homomorphismes de K* dans T; cette dualite se prolonge en une dualite
entre les espaces Q®X(T) et Q®r(!T). Les hyperplans de Q8T(T) dont
les equations sont de la forme a = 0, a etant une racine, s'appellent les
hyperplans radiciels. Le complementaire de la reunion des hyperplans radi-
ciels se decompose en ensembles convexes, appeles chambres. Le groupe de
Weyl opere de maniere naturelle dans les espaces Q g ) T(T) et Q g X(T)-;
ses operations transforment entre elles les chambres de maniere simplement
transitive. Nous designerons par G la chambre sur laquelle les racines posi-
tives prennent des valeurs positives, et par C(w) (si w eW) la transformee
de C par w.
Le groupe de Weyl contient une operation wQ et une seule qui transforme
toute racine positive en une racine negative. Nous designerons par C le
groupe s(w0)Bs(w0)~l; e'est le seul groupe de Borel contenant T qui n'ait
que T en commun avec B.
Pour tout element w e W, nous designerons par R+(w) (resp. R'+(w))
Fensemble des racines a 0 telles que w~l(a) 0, (resp. w~l(a)
0). C'est aussi Fensemble des a 0 telles que les operations de Pa ne
laissent pas toutes fixe (resp. laissent fixe) le point e(w). Nous designerons
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