DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B 5
par Buw (resp. B1^) le groupe engendre par les Pa pour a e R+(w) (resp.
a e R'+(w)): L'application (b, b') »- bb' induit un isomorphisme de la
variete Buw x B1^ sur la variete Bu compose des elements unipotente de
B; Fapplication b H- be(w) induit un isomorphisme de
Buw
sur la cellule
A
+
(
W
) .
Nous designerons par N le nombre de toutes les ratines positives et par
N(w) le nombre des elements de R(w); on a.
dimG/B = N, dimX(w) = dimA
+
(w) = N(w).
Nous designerons par R_(w) (resp.
Rf_(w))
l'ensemble des racines -a
pour a e R*+(w) (resp. a e R+(w)); c'est aussi l'ensemble des racines a 0
telles que les operations de Pa ne laissent pas toutes fixe (resp. laissent fixe)
le point e(w). Nous designerons par C^ (resp. C'^) le groupe engendre par
les Pa pour a e R_{w) (resp. a G i?'_(ti;)). Nous poserons
A_(w) = Ce(w) =
Cuwe{w)
et nous designerons par Y(w) l'adherence de A_(w). On a les formules
(1) A_{w) = s(w0)A+(w0w),
Y(w)=s{w0)X(w0w).
En effet, on a A+(ti;0?i;) = Be(w0w); or on a, quels que soient les elements
w, w' dans W,
s{w)e{w) = e(ww ) .
Comme il resulte de ce que s(ww') e s(w)-s(w')T et de ce que les points
e(w) sont invariants par T. Comme wQ est evidemment d'order 2, on a
$(ti;0)A+(Ti;0ti;) = w(w0)B(s(w0))'le(w);
il suffira done de montrer que
s(w0)B(s(w0))~l
= C; or cela resulte des faits
suivants: B est engendre par les Pa pour a 0 et par r ; si w e W, ^(ti;)
appartient au normalisateur de T et on a
s(w)Pas(w)-1 = Pw{a)
pour toute racine a. On a done
dim r ( w ) = dim A_(w) = N - N(w).
Les ensembles A_(w), qui sont les orbites du groupe C operant dans G/B,
forment une nouvelle decomposition cellulaire de G/B.
Etude qualitative des varietes X(w)
PROPOSITION 1. Soit w un element de W. L'application (s, x) i-* sx
induit une application birationnelle de la variete C^ x X(w) sur une partie
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