6 C. CHEVALLEY
dense de G/B et un isomorphisme de C^xA+(w) sur une sous-variete ouverte
de G/B.
II suffira evidemment de montrer que (s
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t) *-* st-e(w) induit une appli-
cation birationnelle de C^ x
Buw
sur une partie dense de GjB. Soit
B1
le
groupe de Borel compose des elements de G qui laissent fixe le point e(w),
et soit
C1
le groupe de Borel contenant T et qui n'admet aucun element
en commun autre que T avec B1. Si C,u est Pensemble des elements
unipotents de C', on sait que s \- s-e(w) induit un isomorphisme de la
variete Cfu sur une sous-variete ouverte de GjB. Par ailleurs, C,u est en-
gendre par les Pa pour les racines a telles que Pa ne soit pas contenu dans
B1, i.e. telles que les operations de Pa ne laissent pas toutes le point e(w)
fixe; ces racines sont celles qui appartiennent a Tun au moins des ensembles
R+(w), R_(w). Parmi elles, celles pour lesquelles les operations de Pa lais-
sent fixe (resp. ne laissent pas toutes fixes) le point e0 sont celles a e R+(w)
(resp. a e R_(w)). On sait qu'il en resulte que Fapplication pour lesquelles
(s, t) H* st induit un isomorphisme de
Buw
x C^ sur
C,u,
ce qui demontre
la Proposition 1.
PROPOSITION 2. Soit w une operation du groupe de Weyl\ les varietes
X(w) et Y(w) n'ont alors qu'un seul point commun e(w), qui intervient
avec la multiplicite 1 dans Vintersection de ces deux varietes. Soit w' une
operation de W telle que N(w') = N(w); si w' ^w, on a X(w) n Y(wf) =
0 .
Les varietes X(w) et
Y(wr)
sont transformees en elles-meme par les
operations de T. Comme T est une groupe connexe, il en resulte facilement
que toute composante irreductible L de X(w) D Y(wf) est transformee en
elle-meme par les operations de T. Comme T est resoluble il resulte d'un
theoreme de Borel que L contient un point invariant par T (L est en ef-
fet une sous variete fermee, done complete, de G/B). Or, les seuls points
de G/B invariant par T sont les e(w"). Si e(wn) e X(w) n Y(wf), oh
a A
+
(^ , / ) = Be(w") c X(w) et A_(w") = Ce(w") c Y(w'); la premiere
relation entraine N(w") N(w), et la seconde N - N(w") N - N(w').
Si done N(w') = N(w), on doit avoir N(w") = N(w) = N(w'). Comme
A+(w") a meme dimension que X(w), il a un point commun avec A+(w),
qui est une partie relativement ouverte de X(w); cela n'est possible que
si w" = w. On voit de meme que Ton doit avoir w" = w1. On a done
X(w) n Y{w') = 0 si N(w) = N(w'), w ^ w ; de plus, toute com-
posante irreductible de X(w) n Y(w) contient e(w). Or, si on designe par e
l'element neutre de G, A_(w) (qui est partie ouverte de Y(w)) est Fimage
de C^ x (e(w)) par Fapplication de la Proposition 1, tandis que X(w) est
Fimage de (e) x X(w); il resulte done de la Proposition 1 que e(w) est point
d'intersection isole de multiplicite 1 de X(w) et Y(w), ce qui demontre la
Proposition 2.
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