DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B
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Designons par fw l'application decrite dans la Proposition 1. Soit a une
racine 0 telle que w;"l(a) 0 ; o n a alors P_a c C^, et fw induit un
isomorphisme de Pa x A+(w) sur une sous-variete de dimension N(w) + 1
de G/B, que nous designerons par A+(w , a).
LEMME 1. Les notations etant comme ci-dessus, le point e(w(a)w) est
adherent a A+(w, a).
Puisque w~l(a) 0, les operations de Pa laissent le point e(w) fixe, et
il en est de meme de celles du tore maximal T de Z contenu dans T.
a a
Comme T P est de dimension 2 et Z de dimension 3, il en resulte que
la sous-variete fermee Zae(w) de G/B est de dimension 1; cette variete
contient P_ae(w), qui est de dimension 1 en vertu de la Proposition 1. II
en resulte que Pensemble P_ae(w) est dense dans Zae(w); or ce dernier
ensemble contient e(w(a)w) = s(w(a))e(w); le Lemme 1 est done etabli.
On peut dire plus dans le cas ou a est une racine fondamentale:
LEMME 2. Soit a une racine fondamentale telle que w~l (a) 0. Uensem-
ble fw(Pa x X{w)) est alors dense dans X(w(a)w); Vensemble X(w(a)w)
est de dimension 1 + N(w) et est transforme en lui-meme par les operations
de Za\si w' est un element de W quipossede lesproprietes suivantes: e(w')
appartient a X(w),
P_ae{wf)
n'estpas contenu dans X(w)\e(w(a)w') est
un point simple de la variete X(w(a)w), on peut affirmer que
e(wf)
est un
point simple de X(w).
Nous allons montrer que, si s est un element distinct de l'element neutre
e dans P_a et x un point de A+(w), le point sx appartient a A+(w(a)w).
Onpeutmettre x sous la forme be(w) ,oxx b est un element de Buw . Comme
a est fondamentale, les groupes Pn relatifs aux racines /? 0 distinctes de a
engendrent un groupe Ba de dimension N-1 dont le normalisateur contient
Za ; on a done sx = b'se(w) avec un element b' e Ba c B. Comme w(a)
est d'ordre 2, on peut ecrire e(w) = s(w(a))e(w(a)). L'element ss(w(a))
appartient a Za, qui est, en vertu du theoreme de Bruhat la reunion des
ensembles P T P et P s(w(a)). Comme P et P n'ont aucun element
a a —a a
v
v // a a
^e encommun, ss{w(a)) n'appartient pas a Pas(w(a)); il appartient done
a PaTaP_a . Or on a (w(a)w)~l(-a) = w~l(a) 0; les operations de P_a
laissent done fixe le point e(w(a)w), et il en est de meme de celles de Ta ;
le point sx appartient done a
BPae(w(a)w) = Be(w(a)w) = A+(w(a)w).
II resulte immediatement de la et du fait que X(w(a)w) est ferme que
fJP_axX(w))cX(w(a)w).
Montrons maintenant que la dimension N(w(a)w) de X(w(a)w) est
N(w) + 1. Si /? est une racine 0 telle que
w~x(fi)
0, on a w(a)fi 0,
car a est la seule racine 0 qui soit transformee en une racine 0
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