8 C. CHEVALLEY
par w(a) et on a
w~l(a)
0; de plus, on a alors
(w(a)w)~l
(w(a)fi)
0. On a aussi (w(a)w)~l(a) 0; enfin, si a est une racine 0 telle
que
(w(a)w)~l(a)
0, w(a)a est ou bien une racine /? 0, qui ap-
partient alors a R+(w), ou bien une racine 0, qui ne peut alors etre
que -a; ceci montre bien que N(w(a)w) = N(w) + 1. Comme
fw(P_axX(w)) est de dimension N(w)+l et est contenu dans X(w(a)w) ,il
est dense dans X(w(a)w); comme cet ensemble est transforme en lui-meme
par les operations de P_a on voit qu'il en est de meme de X(w(a)w).
Or X(w(a)w) est aussi transforme en lui-meme par les operations de Ta
(car T c T) et de Pn (car Pn c B)\ comme l'ensemble PTP
n
est
dense dans Z
a
, on a ZaJT(ti;(Q;)w;) = X(w(a)w). Soit it/ une operation
de HP qui possede les proprietes indiquees. Comme s(w(a)) transforme
X(w(a)w) en elle-meme, le point e(w') = s(w(a))e(w(a)w') est simple sur
X(w(x)w); la variete X(w(a)w) est done normale en ce point. Pour mon-
trer que e(w') est simple sur X(w), il suffit de montrer que (e, e(w')) est
simple sur P_a x X(w), et il en sera bien ainsi si la restriction f^ de fw
a P_a x X(w) induit un isomorphisme d'un voisinage ouvert de (e, e{w'))
dans P_a x X(iy) sur un voisinage ouvert de e(w') dans X(w(a)w). La
variete P_a x Z(w;) rencontre C^ x A+(w); comme y^ induit un isomor-
phisme de C^ x A+(n;) sur une sous-variete de G/B, y^ est une appli-
cation birationnelle de P_a x X(^ ) dans X(w(a)w). L'image reciproque
de e(w') se compose des points (s,
^"^(ty7))
pour les 5 P_Q tels que
s~~xe{w') e X(w). Comme P_ae(w') n'est pas contenu dans X(w), il n'y
a qu'on nombre fini d'elements s e P_a tels que s~le{w') e X(w). II
resulte, alors du theoreme principal de Zariski que l'image reciproque de
e(w') se compose du seul point (e, e(w')), et que f^ induit un isomor-
phisme d'un voisinage ouvert de ce point sur un voisinage ouvert de e(w')
dans X(w(a)w). Le Lemme 2 est done etabli.
COROLLAIRE. Soient w une operation du groupe de Weyl et a une racine
fondamentale telle que
w~l(a)
0. On a alors
ZaX(w) = X(w), X(w(a)w) C X(w), N(w(a)w) = N(w) - 1.
Posons w* = w(a)w ,d'ou w = w(a)w* . On a w*~l(a) = w~l(-a) 0;
le corollaire resulte done de Lemme 2, applique a w*.
LEMME 3. Sbienf w et w' des operations de W telles que Von ait X(wf) c
X(w), N(w') = iV(ty) - 1. Alors ou bien il existe une racine fondamentale a
telle que w =
w(a)wf,
ou bien il existe une racine fondamentale a telle que
X(w)cX(w{a)w),
X(w')cX(w(a)w'),
X(w{a)w') C X(w(a)w),
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