DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B
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et
N(w(a)w') = N(w(a)w) - 1.
Comme N(w') N(w) N, il est impossible que w change toutes les
racines positives en racines negatives. II existe done au moins une racine fon-
damentale a telle que
w'~l(a)
0; on a alors X(w') c X(w(a)w'), N(w')
= N(w(a)w') - 1 (Lemme 1). Supposons d'abord que w~l(a) 0. Dans
ce cas, X(w) est transforme en lui-meme par s(w(a)), d'ou e(w(a)w') =
s(w(a)w)e(wf)
e X(w) et par suite
X(w(a)wf)
c X(io),deplus,
X(w(a)wf)
et X(w) ont alors meme dimension; il en resulte que A+(w(a)wf) rencon-
tre A+(w) , d'ou
w(a)wf
= w . Supposons ensuite que Ton ait
w~l(a)
0.
Dans ce cas, on a X(w) c X(w(a)w), N(w(a)w) = N(w) + 1; de plus,
s(w(a)) transforme X(w) en une partie de X(w(a)w), d'ou e{w(a)w) e
X(w(a)w) et par suite X(w(a)w') c X(w(a)w).
PROPOSITION 3. Soient w et w' des elements de W tels que Von ait
X(w') c X(w),
N(wf)
= N(w) - 1. Alors X(w') est une sous-variete sim-
ple de X(w); // existe une racine a 0 telle que Von ait w =
w(a)wf,
w'-\a) 0, w~\a) 0. N.B.
w'~l(a)
= -w~\a).
Nous demontrerons ces assertions par recurrence descendante sur le nom-
bre N(w). La plus grande valeur que puisse prendre ce nombre est N; si
N(w) = N, on a w = wQ, X(w) = G/B; la premiere assertion est alors vraie
puisque G/B est non singuliere; la seconde assertion resulte de Lemme 3 et
du fait que
WQ1(O)
0 pour toute racine a 0. Supposons maintenant
que N(w) N et que Fassertion soit vraie pour tous les couples (w*, w*')
tels que N(w*) N(w). Montrons que X{w') est une sous-variete simple
de X{w).
Si w ne peut pas se mettre sous la forme w(a)wf avec une racine fonda-
mentale a, il existe une racine fondamentale ai telle que Ton ait w'~l(ai)
0, w~\at) 0, X(w') C X(w(at)w')9 X(w) C X(w{at)w), X(w{ai)w') C
X{w{ai)w), N(w(ai)w') = N(w(ai)w) - 1. Faisant usage de Fhypothese in-
ductive, on voit que X(w(ai)wf) est une sous-variete simple de X(w(ai)w)
et qu'il existe une racine /? 0 telle que
w(ai)wf
= w(fi)w(ai)w et
{w{ai)w')~x(P) 0. Le point e(w(a.)w') est simple sur X(w(at)w)
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car
ses transformes par les operations de B (lesquelles transforment X{w{ai)w)
en lui-meme) formnt une partie dense de
X(w{ai)wt).
Par ailleurs,
X{w{ai)w') n'est pas contenu dans X(w). En effet, dans le cas contraire, on
aurait X(w(ai)wf) c X(w), et par suite X(w(ai)wf) = X(w) puisque ces
deux varietes ont meme dimension
N(wf)
+ 1; on aurait done
w(a()wf
= w
ce qui n'est pas le cas, car
(w(ai)wr)~l(ai)
0,
w~x(ai)
0. II resulte de
la que P_ X(w') n'est pas contenu dans X(w); en effet, dans le cas con-
traire, PaTaP_aX(w') serait contenu dans X(w) puisque PaTa c B, et
on aurait aussi ZaX(wf) c X(w) puisque PaTaP_a est dense dans Za ;
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