10 C. CHEVALLEY
mais ceci entrainerait que e(w(ai)w') =
(w(ai))e(wf)
e X(w), ce qui n'est
pas. II resulte alors du Lemme 2 que
e{wf)
est simple sur X(w), done que
X(w') est une sous-variete simple de X(w). De plus, on a
w' = w{at)~ w(P)w{ai)w = w(a)w
en designant par a celle des racines w{at)p, -w{at)P qui est positive. Si
on avait
w'~l(a)
0, on aurait
w'~l(-a)
0, et e(w') serait laisse fixe par
les operations de P_a . Comme PaTa c B, on aurait PaTaP_ae(w') c X(w')
et par suite Zae(w') c X(w'), d'ou e(u/) = s(w(a))e(wf) e X(wf), et par
suite JT(ty) c X{w'), ce qui n'est pas. On a done u/"
1
^ ) 0, et par suite
w~l(a)
0, ce qui demontre la Proposition 3.
COROLLAIRE. Si w est un element de W, la variete X(w) n'admet aucune
sous-variete singuliere de codimension 1.
En effet, l'ensemble S des points singuliers de X(w) est transforme en
lui-meme par les operations de B; e'est done une reunion d'orbites de B.
S'il contenait une orbite de dimension N(w) - 1, cette orbite serait de la
forme A+(i(/) avec N(w') = N(w) - 1, et X(w') serait contenu dans S
(qui est ferme).
PROPOSITION 4. Soient w et w' des elements distincts de W tels que
X(wf)
cX(w). II existe alors un element w" de W tel que Von ait
X(wr)
c
X(w") c X(w), N(w") = N(w) - 1.
Soit S la reunion des X(w") pour tous les w" tels que Ton ait X(w") c
X(w), N(w") = N(w) - 1, et soit XQ(w) = X(w) - S; XQ(w) est une sous-
variete ouverte de X(w). Comme S est une reunion d'orbites pour B de
dimension N(w), on a A+(w) c X(w) de plus, Z = XQ(w) -A+(w) est
la reunion des A+(w*) pour tous les w* tels que A+(w*) soit contenu dans
X(w) sans Fetre dans S; toute composante irreductible de Z est done de
codimension 2 dans X0(w). Nous voulons montrer que Z = 0 ; or cela
va resulter de ce que A+(w) est une variete isomorphe a
KN^
, done une
variete affine, en vertu du
LEMME 4. Soient L une variete et M une sous-variete ouverte affine
de L; tout composante irreductible de L - M est alors, de codimension 1
dans L.
Puisque M est une variete affine, l'algebre des fonctions rationelles numeri-
ques sur L partout definies sur M admet un ensemble fini de generateurs u{,
... , un (sur le corps de base K), et, si 9 est un homomorphisme quelconque
de cette algebre dans K, il y a un point x e M tel que u((x) = 0(w.)
(1 / n), de plus, l'anneau local de x se compose des uu"~l, ou u , u" c
K[u{, ... , un] et -u"(x) ^ 0.
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