DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B 11
Montrons que M est Fintersection des ensembles de definition des ui.
Soit x un point de cette intersection; alors u H- U(X') est un homomor-
phisme de K[ux, ... , un] dans Kx de sorte qu'il y a un x e M tel que
u(x) = u(x) pour tout u e K[u{,..., un]. II resulte alors de ce que nous
avons dit de 1'anneau local de x que cet anneau est contenu dans celui de x ,
ce qui entraine x = x . Ceci etant, si P est une composante irreductible de
L - M, il y a au moins un point y P qui n'appartient a aucune autre com-
posante irreductible de L - M que P, et un indice z tel que ut ne soit pas
definie en y. Le point y appartient a au moins une composant irreductible
R de l'ensemble des points de L en lequels ut n'est pas defini, et il est bien
connu que R est de codimension 1 dans L. On a R c L- M \ comme P
est la seule composante irreductible de L - M passant par y, on a P = R,
ce qui demontre le lemme.
PROPOSITION 5. Soient w, w' tffes1 elements de W. Pour que Von ait
X(w') c X(w), ilfaut et suffit que Von ait Y(w) c Y(w').
Tenant compte des formules Y(w) = s(wQ)X(w0w) (pour tous les w e
W), qui entrainent X(wQw) = s(w0)Y(w), on voit qu'il suffit d'etablir que
la condition est suffisante. Tenant de plus compte de la Proposition 4, on
voit qu'il suffit de montrer que, si Ton a
X(wf)
c X(w), N(w') = N(w) - 1,
on a Y(w) c Y(w'). Or on a alors w' = w(a)w, oti a est une racine
0 telle que
w~l(a)
0. On a
wQwf
=
wQw(a)wQl(w0w)
= w(aQ)w0w ,
ou aQ est la racine positive -iu
0
(a). On a (wQw'~ )(-aQ) =
w'~l(a)
0;
il en resulte que e(w0w') est invariant par les operations de P_a . On a
done Pa Ta P_a e(wQw') c
X(wQwf),
et par suite Za e(w0w') c
X(wQwf),
d'ou e(w0w) = s(w(a0))e(wQw') e X(w0w')9 ce qui entraine X(w0w) c
X ( ^
0
^
/
) , d'ou Y(w) c r ( ^ ' ) .
Nous nous proposons maintenant de donner un critere combinatoire per-
mettant de decider dans quel cas on a X(w') c X(w), w et w' etant des
operations de W. Comme les symetries wt par rapport aux racines fonda-
mentales engendrent W, tout element w de W peut se mettre sous la forme
d'un produit de facteurs wt. Nous appellerons suite de definition de w une
suite (ij, ... , /r) d'indices entre 1 et n telle que w = wt w- . Rappelons
que, si i est un indice quelconque entre 1 et n, on a N(wtw) = N(w) ± 1,
comme il resulte de Lemme 2 et de son corollaire. II en resulte que, si
(ix, ... , ir) est une suite de definition de w, on a N(w) r; si Fegalite a
lieu on dira que (i{, . . . , ir) est une swi'te de definition reduite de w . Tout
element w de W admet au moins une suite de definition reduite. Nous le
montrons par recurrence sur N{w). C'est evident si N(w) = 0, auquel cas
w est l'element neutre. Supposons que N(w) 0 et que notre assertion
soit vraie pour les w' tels que N(w') N(w). Comme N(w) 0, il y a
au moins une racine fondamentale, soit a(, telle que
w~l(at)
0; posons
w' = wtw, d'ou w wtwf. On a alors N{w') = N(w) - 1 (Lemme
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