12 C. CHEVALLEY
2); w' admet done une suite de definition reduite (i{, ... , iN/w\_i), et
(/, i j , ... , iNfW\i) est une suite de definition reduite de w . Le raison-
nement que Ton vient de faire montre d'aiUeurs que, pour tout i tel que
w~~l(ai)
0, il y a une suite de definition reduite de w commengant par i.
PROPOSITION 6. Soient w et w des elements de W. Les conditions sui-
vantes sont alors equivalentes:
(a) on a X(w') c X(w);
(b) de toute suite de definition reduite de w on peut extraire une suite
partielle qui soit une suite de definition reduite de w';
(c) // existe une suite de definition reduite de w dont on puisse extraire une
suite de definition reduite de w .
Nous allons montrer d'abord que a) entraine b). Tenant compte de la
Proposition 4, on peut se limiter au eas ou N(w') N(w) - 1. Nous
procederons alors par recurrence sur N(w). Notre assertion est evidente
si N(w) = 0. Supposons la done vraie pour les w* tels que N(w*)
N(w), N(w) etant 0. Soit (i, ix, ... , ir) une suite de definition re-
duite de w ; laissant de cote le cas trivial ou w = w , on peut supposer que
r = N(w) - 1 =
N(wf).
Posons
w* = w. -w. = w.w;
l\ lr l
on a N{wjw) = N(w) - 1, d'ou
w~l(at)
0. Supposons d'abord que
w'~x{ai)
0, et posons alors w'* = w.w', d'ou
N(w'*) = N(w') - 1 = N(w*) - 1.
Nous allons montrer que Ton a X(w'*) c X(w*). II suffit, en vertu de la
Proposition 4, de montrer que Y(w*) c Y{w'*), ou encore que X(wQw*) c
X(w0w'*). On a w0w* =
(wQwiWQl)(w0w); WQWJWQ1
est la symmetric
par rapport a la racine w0(at). Puisque w0 transforme les racine positives
en racines negatives, il transforme les racines fondamentales en les opposees
des racines fondamentales; on a done
WQWJWQ1
= wt , avec w
0
(
a
;) = -ty ;
de plus, on a (wQw)~l(aif) = -w~l(at) 0. On a de meme
w0w'*(ai) = W^WQW*)" (aif) 0.
Puisque
X(wf)cX(w),
on a X(w0w) cX(w0w'), d'ou e(w0w) eX(wQw').
On a
e(w0w*) = s(wlf)e(wQw) e s(wlf)X(w0w');
puisque
(wQw'y1(ai»)
est une racine positive, on a X(wQw') c X(w0w'*)
et X(wQw'*) est transforme en lui-meme par les operations de Zat , on
en conclut que e(wQw*) e X(wQw'*), d'ou X(w0w*) c X(w0w'*). Nous
avons done bien X(w'*) c X(w*). Faisant usage de l'hypothese induc-
tive, on voit qu'il y a une suite (jx, ... , j x) extraite de (i{, ... , / ) qui
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