DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B 13
est une suite de definition reduite de w'*. II en resulte immediatement
que (/, j \ , ... , 7r—1)
e s t u n e su
*
t e
^
e
definition reduite de w' extraite de
(/, I'J , ... , /
r
) . Supposons maintenant que Ton ait
w'~l(ai)
0. Dans ce
cas, on a e(wtw') = s(w.)e(w') eX(w) puisque X(w) est transforme en lui-
meme par les operations de Za , comme il resulte de ce que
w~l(at)
0;
on a done X(wiw') c X(w). Mais on a N(wlw') = N(w') + 1 = N(w)
puisque w'~x(ai) 0; il en resulte que wtw' = w, et (ix, ... , /r) est une
suite de definition reduite de w' extraite de (/, ix, ... , ir).
II est evident que b) entraine c). Nous montrons maintenant que c)
entraine a). Nous procederons encore par recurrence sur N(w). Le cas
N(w) = 0 etant trivial, supposons que N(w) 0 et que l'assertion soit
vraie pour les w* tels que N(w*) N(w). Soit (i, i{, ... , ir) une suite de
definition reduite de w dont on puisse extraire une suite de definition reduite
(j\ , ... , js) de w'. Supposons d'abord que j \ ^ 1; alors (j{, ... , js) est
une suite extraite de (i{, ... , ir), qui est une suite de definition reduite de
wxw. On a done, en vertu de Fhypothese inductive, X(w') c X(w{w);
comme on a X(wtw) c X(w), on a bien X(w') = X{w) dans ce cas. Sup-
posons maintenant j \ = i. On a alors w'~l(ai) 0; comme (j2, ... , j5)
est une suite de definition reduite de wtw' extraite de (I'J , ... , ir), on
a X(wiw') c X(wxw) c X(w) en vertu de Thypothese inductive. On
a e(?//) =
s(wl)e(wlwf)
e s(wx)X(w), et X(w;) est transforme en lui-
meme par les operations de Z ; il en resulte que e(w') e X(w), d'ou
i
X(w') c X(w). La Proposition 6 est done demontree.
Etablissons enfin la proposition suivante, qui nous sera utile dans la suite:
PROPOSITION 7. // existe un groupe semi-simple simplement connexe GQ
du meme type que G (i.e. admettant le meme diagramme de Dynkin) et
une isogenie f de GQ sur G qui possedent les proprietes suivantes: il existe
un groupe de Borel B0 de G0 tel que f(B0) = B et que f definisse par
passage aux quotient un isomorphisme g de la variete G0/B0 sur G/B; g
applique les cellules de la decomposition cellulaire de G0/BQ sur les cellules
de la decomposition cellulaire de G/B.
On sait qu'il existe une isogenie / d'un groupe simplement connexe GQ
sur G et un tore maximal TQ de GQ et que f(TQ) = T et que les exposante
radiciels de Fisomorphisme (p de QgX(T) sur Q®X(T0) attache a / soient
egaux a 1; cela signifie que (p induit une bijection de Fensemble des racines de
GQ sur l'ensemble des racines de G0; de plus, pour toute racine a, il existe
un isomorphisme f
a
de K sur un sous-groupe de G0, attache a la racine
(p(a), tel que / induise un isomorphisme du groupe ia(K) sur Pa . Soient
/?!, ... , fiN toutes les racines positives, rangees dans un ordre quelconque.
Si B0 est la composante connexe de l'element neutre dans f~l(B), BQ est
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