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C. CHEVALLEY
un groupe de Borel de GQ contenant T0 et les (p{Pt) sont les racines ft de
G0 telles que les r^(K) soient contenus dans B0. Or, Papplication
(£j , . . . , SN) »— Sj SN
est un isomorphisme de Pp x P^ x x P^ sur le groupe
Bu
des elements
unipotente de B, et on a en resultat analogue relatif a B0; / induit done
un isomorphisme de JBQ sur Bu. L'application / definit par passage aux
quotients une morphisme g de la variete G0/B0 dans G/B. Par ailleurs,
il y a un point eQ de G0/B0 invariant par T0 tel que s -+ se0 induise un
isomorphisme de BQ sur une sous-variete ouverte de G0/BQ; il est alors clair
que g(eQ) est un point invariant par T dont Porbite relativement a B est
de dimension N
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d'ou g(eQ) = e(wQ). Comme / induit un isomorphisme
de BQ sur
Bu,
il en resulte que g induit un isomorphisme de la sous-
variete ouverte B0e0 de G0/B0 sur la sous-variete ouverte Be(wQ) de G/B.
Comme on a g(5^0) = f(S)g(xQ) pour tout point x0 e GQ/B0, il resulte
facilement de la que g est un isomorphisme de GQ/BQ sur G/B, ce qui
demontre la Proposition 7.
On peut done, dans Petude de la variete G/B, se borner au cas ou G est
simplement connexe.
Determination de certaines multiplicites
Nous allons d'abord demontrer deux formules relatives aux images et im-
ages reciproques de cycles par des morphismes de varietes. Soient U et V
des varietes que nous supposerons completes et non singulieres, et soit /
un morphisme injectif de U dans V. On peut alors associer a tout cycle
X sur U, de dimension dim V, un cycle f(X) sur V, de meme di-
mension que X. Soit maintenant donnes une variete T, complete et non
singuliere, un morphisme g de T dans U et un cycle R sur T, de dimen-
sion min(dim U, dim V). Dans ces conditions, fog est un morphisme
de T dans V
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et les expressions ( / o g){R), f(g(R)) sont definies; nous
allons montrer que
ifog)(R) = f(g(R)).
Nous designerons par r ^ , Fg, T^0^ les graphes de / , g, fog, et nous allons
montrer que Ton a
Tfog
=
V*Txv((Tg
*
V)
*
(T X r
/))rxC/xF
L'application f «-• (f, g ( 0 , f(g(t))) est un isomorphisme de T sur une sous-
variete M de r x U x K, et il est clair que la projection de T xU xV sur
T x V induit un isomorphisme de la variete M sur la sous-variete T^0^ de
T x V; de plus, Pensemble M est Pintersection des ensembles r x V et
T x T^, et on a
d i m M = dim(r x V) 4- dim( r x T.) - d i m ( r x C / x F ) ,
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