DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B
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tout revient done a montrer que la multiplieite de M dans l'intersection
(r x V) (T x r\-), intersection qui est definie en vertu de ce qu'on vient de
dire, est 1. Or on a
WrxuFg *V).{Tx 17) = (prTxU(T x rf)).Tg
et prTxU(TxrA = r x p r ^ r v , comme u i- (u, /(«)) est un isomorphisme
de U sur Ty, on a pr^ T^= U, et par suite
p i W
r
* x n - ( r x r
f
) = (Tx u)-rg = rg,
ce qui montre que le coefficient de M dans (r x V) (T x I\.) est 1.
Ceci etant, on a
(fog)(R) = prv(RxV).rfog
= prK((i? x V) pr
r x K
(r
g
x V) (T x Tf))
= prvprTxy(R xUxV)-(TgxV)-(Tx Tf)
= prK vrUxV(R xUxV)-{TgxV)-{Tx Yf)
= prv(pTUxV(R xUxV).(Tgx V))-Tf
= prv(PTUxV((RxU)-rg)xV)-rf
= pTv{(pTv(Rxu)-rg)xv)-rf
= prv(g(R)xV).Tf
= f(g(R)),
ce qui demontre la formule.
Par ailleurs, si Y est un cycle de V tel que T^{U xY) soit defini, on
pose
f-\Y) = vruTr(UxY).
Nous nous proposons de montrer que, si X est un cycle de dimension
dim V sur U et Y un eye
f(X) Y est defini et on a
dim F su r U e t Y u n cycl e sur F , s i /
l(Y)
et X-f
l(Y)
sont definis
f(X)-Y = f(X-f \Y)).
II est clair que toute sous-variete de V qui est une composante de f(X) est
l'image (au sens de la theorie des ensembles) d'une sous-variete de meme di-
mension de U qui est une composante de X. Pour montrer que f(X) Y est
defini, on peut done se ramener au cas ou X est une variete irreductible (prise
avec le coefficient 1) dont Fimage (au sens de la theorie des ensembles) est de
dimension dim X. Supposons pour un moment qu'il existe une composante
Yj, de Y telle que f(X) n Y{ contienne une composante irreductible W de
dimension dim X + dim Y = dim V. Comme W est contenu dans l'image
de l'ensemble X par / , e'est l'image par / d'une sous-variete fermee M de
X de dimension dim W. L'ensemble M est contenu dans une composante
irreductible Z , de l'ensemble f~l(Yx). Comme Y est un cycle positif et
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