16 C. CHEVALLEY
comme
f-~l(Y)
est defini,
f~l(Y{)
est une composante du cycle
f~l(Y).
Or on a
d i m /
_ 1
( r ) = dim Y + dim U - dim V;
il en resulte que dimM dimX + d i m /
_ 1
( y ) - dim C/, en contradiction
avec Fhypothese que X
-f~l(Y)
est defini. Ceci etant, on a
/ ( j r ) . y = ( p r
F
( j r x F ) . r
/
) . y = p r
K
( A r x K ) . r
/
. ( t / x r ) .
Comme la projection de U x V sur U induit un isomorphisme de I\. sur
U, il est clair que Ton a
C = ( F x p r
c /
C ) . r
/
pour tout cycle C de U x V dont le support est contenu dans ry . On a
done
f{X).Y = pr(Vxpru(XxV)-(UxY)-rf)-rft
Mais on a p r ^ X x K) (C/ x 7) - 1 ^ = X pTv(U xY)-Tf = X-f~l(Y) d'ou
/ ( Z ) . y = p r
F
( F x x . / -
1
( y ) ) . r
/
= / ( z . / -
1
( 7 ) ) ,
ce qui demontre la formule.
Ceci pose, remarquons que les varietes X(w) qui sont de codimension 1
dans G/B sont les X(w0wt) (1 i n); nous poserons
Si-X{w^wi).
Soit a une racine positive. Le point e(wQ) est invariant par les operations
de TaP_a, qui est un groupe de Borel de Za, mais n'est pas invariant par les
operations de Pa ; l'ensemble Zae(wQ) est done une courbe complete. Nous
poserons
T = Z e(wn).
L'intersection Ta St est done definie; nous nous proposons de la determiner
explicitement.
Nous avons vu que Ton peut supposer G simplement connexe. Soient
cbx, ... , cbn les poids dominant fondamentaux; on a done
Soit p une representation lineaire simple de G de poids dominant a.. (II
en existe une puisque G est simplement connexe; cf.) L'espace L de Co
admet une base (z{, ... , zh) composee de vecteures zk appartenant a des
poids cok ; nous supposerons que
tox =&n coh = w0(a)i).
Rappelons que cox et par suite con sont de multiplicity 1; et que, si k
h, cok- coh s'exprime comme combinaison lineaire a coefficients 0 non
tous nuls des racines positives. De plus, si a est une racine quelconque,
p(Pa)zk est contenu dans l'espace engendre par les zk, pour les k' tels que
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