DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B 17
cok , soit de la forme cok + ra, r entier 0. II en resulte que, si a 0, les
operations de^ p(Pa) transforment en lui-meme Fhyperplan M engendre par
z
p
. . . , zh_x. Ceci etant vrai pour tout a 0, et M etant evidemment
transforme en lui-meme par les operations de p(T), on voit que M est
transforme en lui-meme par les operations de p(B). Designons toujours
par a une racine 0, et posons sa = s(w(a)). II resulte de ce que nous
avons dit que les operations de p(P_a) laissent zh fixe. Par ailleurs, Za est
la reunion des ensembles P et P „sTP il en resulte que tout point
—a —a a a —a ' -1 r-
^ zh de Fensemble p(Za)zh est transforme de p(sa)zh par une operation
de p(Pa). Le point p{sa)zh appartient au poids w(a)w0&i9 qui est de
multiplicite 1; il y a done un indice k et un seul, que nous designerons par
k(a), tel que p{sa)zh soit proportionnel a zk . Par ailleurs, il est clair une
w(a)wQ&i = w0cbi + r(a)a,
r(a) etant un entier 0. On en conclut que p(Za)zh est dans Fespace
engendre par les zk pour les k tels que cok soit de la forme coh + r(a),
avec 0 r r{a), et que cet espace contient en tous cas le point zk,a^.
Rappelons que Pa = xa(X), ou xa est un isomorphisme du groupe additif
K sur un sous-groupe du G tel que l'on ait, si t e T, £ G X,
(2) txa{Z)Cl = Ta{a(t)Z).
On a
k
ou mk
a
est un polynome qui est nul si cok n'est pas de la forme coh + ra,
0 r r(a). Tenant compte de la formule (2) et de ce que tzk cok(t)zk ,
on voit que
m * , X 0 £ ) = cok(t)(coh(t))-lmkJ£);
si done cok = coh + ra, on a
dk
a
etant une constante. On a d'ailleurs dk,a*
a
^ 0. Soit en eifet L
a
Fespace engendre par les zk pour les k tels que m^
a
^ 0; cet espace
contient p(P )zh. Or Z est la reunion de P T P et de P S ; comme les
* ^ a' n a a a —a a a '
operations de p(P_a) laissent zA fixe, celle de /CPa) =
/K^^-cA^1)
l
a
i
s s e s
fixe le point p(sa)zh, e'est-a-dire aussi le point zki.. On en conclut que
p(Za)zh est contenu dans la reunion de La et de Fespace Kzk,.. Comme
cet ensemble est irreductible, il est contenu dans Fun ou Fautre des espaces
La, Kzk,.. S'il est contenu dans le second, on a r(a) = 0, k(a) = h et
notre assertion est evidente. S'il est contenu dans le premier, le point zk,.,
qui appartient a p(Za)zh , appartient a La , d'ou dk^a ^ 0. On en conclut
que le maximum des degres des polynomes mk
a
est egal a r(a).
Ceci etant, soit ~p la representation projective associee a p; elle opere
dans Fespace projectif associe a L, que nous designerons par L. Nous
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