DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B 19
f(e(w0)) = zh,et,si£eK, f{6a{t)) = n(p(ra(0)zh), d'ou
Comme le plus haut des degres des polynomes mk
a
est r(a), on voit que Xa
est un cycle de degre r{a). Par ailleurs, si { e K, Ta(£)e(w0) appartient a
A+(w;0) qui n'a de point commun avec aucune des surfaces Sj. La courbe Ta
n'a done qu'un seul point commun avec la reunion des 5 . , a savoir le point
0a(oo), qui n'est autre que s(w(a))e(w0) = e(w(a)w0). Nous obtenons done
n
Xa' ^2cjSj = r(a)e(w(a)w0).
7=1
Nous allons maintenant donner une autre expression des r(a). Soit a la
racine —wQ(a) = -WQl(a); on a done ^ ^ ( a ) ^ = w(a), d'ou
w(a)6)i = &t - r(a)a .
Introduisons une forme quadratique definie positive sur Q xX(T) invariante
par les operations du groupe de Weyl, et designons par (X\/i) le produit
scalaire de deux elements A et fi relativement a cette forme quadratique.
Tenant compte des formules wk{&x) coi - Sikak , il vient
r(a) =
2(&J.|a/)(a/|a/)"1
8ik = 2 ( & x ) K K )
_ 1

Soit a = X)£=i akak l'expression de a comme combinaison lineaire des
racine fondamentales; on a alors
et par suite
r{a) =
a^lcb^ala)'1
(car on a {a\a) = (a\a)). Pour tout racine fondamentale a- designons par
j1
l'indice tel que wQ(aj) = -ajt. Appliquons la formule trouvee plus haut
au cas ou a = ak,, k etant un indice quelconque; on a alors r(a) = dik.
La courbe Ta contient le point s(wk,)e{w0) = e(wk w0) = e(w0wk), qui
appartient a Sk; on a done, si a = ak , Xa Sk # 0. On en conclut que
ck = 0 si k ^ / et ciXa-Si = 1 ^(IUQI^.) si a = ay , d'ou ci = 1. II vient
alors
On notera que at est aussi egal au coefficient de a., dans l'expression de a
comme combinaison lineaire des racines fondamentales.
L'anneau de Chow de G/B
On sait que les classes d'equivalence de cycles sur G/B relativement a la
relation d'equivalence rationnelle forment un anneau A. Nous dirons que A
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