20
C. CHEVALLEY
est Vanneau de Chow de la variete G/B. Pour tout cycle X, nous designerons
par [X] la classes d'equivalence de X; si W est une sous-variete de G/B,
nous poserons [W] = [1 W\. Chow a demontre que les elements [X(w)],
pour tout les iu e W, engendrent le groupe additif de A. Si w est Felement
neutre, X(ty) est le seul element de dimension 0 parmi les X(w); nous le
designerons par P_; il est clair que, si X est un cycle de dimension 0, on a
[X] dP_, ou d est un entier, d'ailleurs egal au degre du cycle X (car le
degre est evidemment constant dans chaque classe d'equivalence rationnelle
de 0-cycles); de plus, P_ est d'ordre infini dans le groupe additif de A. Les
formules X(w) Y(w) = 1 -e(w), X(w) Y(w') = 0 si N(w) =
N(wf),
w /
w montrent que
[X(w)][Y(w)] = P, [X(w)][Y(w')] = 0
si JV(ty) = N(w'), w T£W' .
II resulte immediatement de la que les [X(w)](w e W) sont lineairement
independents. Done
PROPOSITION 8. Les elements [X(w)] (w e W) forment une base du
groupe additif de Vanneau de Chow de G/B.
PROPOSITION 9. Soit s un element quelconque de G. On a [sX] = [X]
pour tout cycle X sur G/B.
Cela resulte facilement de ce que G est une variete rationnelle. Cela peut
aussi se demontrer comme suit. Comme l'anneau de Chow d'une variete est
intrinsequement attache a cette variete, on a un homomorphisme 0 et G
dans le groupe des automorphismes de A tel que 6(s) transforme [X] en
[sX] pour tout cycle X. Or, si s e B, on a sX(w) = X(w) pour tout
w e W, ce que implique que 6(s) est Fidentite. Le noyau de 6 contient
done B; etant un sous-groupe distingue, il contient tous les groupes de Borel
de G, et est par suite identique a G.
Comme on a Y(w) = s(w0)X(wQw), on a
[X(w)][X(w0w)] = P,
[X(w)][X(w0w')] = 0 si N(wf) = N(w), w'^w.
Nous nous proposons maintenant de determiner les [5'.][Z(^)]; nous
poserons
[Si][X(w)]^ci(w9w)[X(w%
w'
la somme etant etendue aux w' telle que
N(wf)
= N(w) - 1. Observons
d'abord que Ton a ct(w, w') = 0 si X(w') n'est pas contenu dans X(w).
En efFet, il est clair qu'il y a un s e G tel que sSt ne contienne pas X(w);
[Si][X(w)] = [sSi][X{w)] est alors egal a [(sSJ-Xiw)]. Or (sSx)-X(w) est
un diviseur de la variete X(w). La variete X(w) admet une decomposition
cellulaire formee des A+(w/) parametree par les w' tels que
A+(wf)
c
Previous Page Next Page