DECOMPOSITIONS CELLULAIRES DES ESPACES G/B
21
X(w), d'ou X(w') c X(w). En vertu de resultat de Chow cite plus haut, le
cycle (sSi)-X(w) est rationnellement equivalent sur X(w), et a fortiori sur
G/B, a une combinaison lineaire des X{w'), pour les w tels que N(w') =
N(w) - 1, X(w') c X(w), ce qui demontre notre assertion.
Soit done
wf
tel que iV(tt/) = N(w) - 1, -JT(ti/) c X(w); il resulte des
formules (4) que Ton a
c(w,w')P = [Si][X(w)][Y(w')].
Determinons l'ensemble X(w)DY(w'). Toute composante irreductible Af
de cet ensemble est fermee et est transformee en elle-meme par les operations
de T, comme il resulte du fait que T est un groupe connexe dont les
operations transforment en elle-meme chacune des varietes X(w), Y(w').
II en resulte que M, qui contient un point invariant par T, contient un
point de la forme e(w"). II est clair que Ton a alors X{w") c X(w),
Y(w") c Y(w'), d'ou *(w') c X(w") (Proposition 5). Comme X(w')
est de codimension 1 dans X{w), on a ou bien X{w") = X(w) ou bien
X(w") = X(w')\ 1'un au moins des points e(w'), e(w) appartient done a
M. Par ailleurs, il existe une racine /? 0 telle que w = w(ft)w', et
on a w~x(P) 0, w'~l{P) 0 (Proposition 3). Le point e(ti/) est in-
variant par les operations de Pp et de Tp ; comme P^ Tp est un groupe de
Borel de Z^,
Zge(wf)
est une variete complete de dimension 1; cette
variete contient e(w) =
s(w(j}))e(wf);
elle est done de dimension 1 et
passe par e{w) et e(w'). Or l'espace vectoriel tangent a x{w') en e(w')
est de dimension iV - N(w') = N - N(w) + 1 et n'a que 0 en commun
avec l'espace vectoriel tangent a X(w') en e(w') (Proposition 2) qui est
de dimension N(w) - 1 et est contenu dans l'espace tangent a X(w) en
e(w'), lequel est de dimension N(w) puisque
e(wf)
est simple sur X(w)
(Proposition 3). On en conclut que l'intersection des espaces tangents a
Y(w') et X(w) en e(w') est de dimension 1, done que X(w) n Y(w')
n'a qu'une seule composante irreductible passant par e(w'), laquelle est
de multiplicity 1 dans l'intersection de X(w) et Y(w'). Comme on a
X(w0w) c X(w0w'), dimX(wQw) =
dimX(wQwr)
- 1, le raisonnement
que Ton vient de faire, applique a w0w' et wQw , montre que l'intersection
de X(w0w') etde Y(w0w) n'a qu'une seule composante irreductible passant
par e(w0w); comme on a Y{w') =
s(w0)X(wQwf),
X(w) = s(w0)Y(w0w),
on voit que X(w) n Y(w') n'a qu'une seule composante irreductible passant
par e(w). On conclut de tout ceci que le cycle X(w) Y(w') est defini et
vaut 1 Zge(wf) = 1 Z^e(w), d'ou
[X(w)][Y(w')] = [Zfie(w)].
On a Xfie(w) = Zfis(wwQ)e(w0), ^ ( t i ; ^ ) ) " ^ ^ ^ ^ ) ^ ^ ) = Z^(a)^(ti;0)
en posant a =
w~l(fi).
On a done
[Z^(ti;)] = [Z (a)^(ti;0)];
Previous Page Next Page