22 C. CHEVALLEY
par ailleurs, on a w' = w(fi)w = ww(a). Tenant compte des resultats
obtenu ail no. precedent, on obtient la
PROPOSITION 10. Soit w un element de W. On a
[Si][X(w)] = ^Tc(w,w')X(w')
w'
ou la somme est etendue aux elements w tels que eX(w) c X{w), N{w') =
N(w) - 1. Si w' est Vun de ces elements, et si a est la racine positive telle
que w' = ww(a), on a
c(w , w') = a{ai\ai){a\a)~
ou a est le coefficient de at dans Vexpression de a comme combinaison
lineaire des racines fondamentales.
Ceci etant, soit G* un groupe semi-simple sur le corps des complexes ad-
mettant le meme diagramme de Dynkin que G. Soient B* un groupe de
Borel de G*, T* un tore maximal de G* contenu dans B* et (a\, ... , a*)
un systeme fondamental de racines de G* par rapport a T*; on suppose ces
racines rangees dans un ordre tel que la correspondance ax ^ a* definisse un
isomorphisme du diagramme de Dynkin de G sur celui de G*. II y a alors
un isomorphisme de W sur le groupe de Weyl W* de G* qui fait corre-
sponds a la symetrie par rapport a a la symetrie par rapport a la racine a*,
que nous designerons par w*; d'une maniere generate, nous designerons par
w* Toperation de W* qui correspond a une operation w de W\ w^ est
Foperation de W* qui change toute racine positive (relativement au systeme
fondamental (a[, ... , a*)) en une racine negative. On obtient ainsi un
isomorphisme (p du groupe additif de Fanneau de Chow A de G/B sur
celui de G*/B* qui fait corresponds [X(w*)] a [X(w)]9 (X(w*) etant
Fadherence de la cellule qui correspond a w* dans la decomposition cellu-
laire de G*/B*). Cet isomorphisme fait corresponds a [S(] la classse [S^]
de X(WQW*) . II resulte immediatement de la Proposition 10 qui Fon a
(p([St][X]) = 9(lSt])9[(X)]
pour tout /et tout [X] e A. Or on sait que A* s'identifie a Fanneau
d'homologie de la variete complexe G* /B* a coefficients entiers; Q8 A*
s'identifie done a Fanneau d'homologie de G*/B* a coefficients rationnells.
Mais ce dernier anneau a ete determine par d'autres methodes, et on sait qu'il
est engendre par ses elements de dimension N - 1, e'est-a-dire par les [S*].
On en conclut que, si AQ est le sous-anneau de A engendre par les [S(],
A/AQ est un groupe fini; il y a done un entier M 0 tel que MA c AQ. Or
il resulte des formules
p a w l * ] ) = vmMix])
que p induit un isomorphisme de Fanneau AQ sur les sous-anneau de A*
engendre par les [S*]; on en conclut immediatement que cp est un isomor-
phisme de A sur A*. Nous avons done etabli la
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