6 1. GAMMA FUNCTION EXTENDED TO NONPOSITIVE INTEGER POINTS
(1) Let us start with k = 1. Integrating by parts for Re(z) −1, we have
˜
F
−1+z
(φ) = −
1
z
∞
0
xzφ
(x)dx.
Since
Resz=0
˜
F
−1+z
(φ) = φ(0),
we have
lim
z→0
˜
F
−1+z
(φ) −
1
z
Resz=0
˜
F
−1+z
(φ)
= lim
z→0
−
1
z
∞
0
xzφ
(x)dx −
φ(0)
z
= lim
z→0
−
∞
0
xz − 1
z
φ (x) dx
= −
∞
0
log x φ (x)dx.
(2) When k 1, integrating by parts k times, for Re(z) −1 we find that
˜
F −k+z(φ) =
(−1)k
(−k + 1 + z) · · · (z − 1)z
∞
0
xzφ(k)(x)dx.
Since Resz=0
˜
F −k+z(φ) =
φ(k−1)(0)
(k−1)!
, we have
lim
z→0
˜
F −k+z(φ) −
1
z
Resz=0
˜
F −k+z(φ)
= lim
z→0
(−1)k
(−k + 1 + z) · · · (z − 1)z
∞
0
xzφ(k)(x)dx
−
1
z
φ(k−1)(0)
(k − 1)!
= lim
z→0
(−1)k
(−k + z + 1) · · · (z − 1)
∞
0
xz
− 1
z
φ(k)(x)dx
+
1
z
(−1)k
(−k + z + 1) · · · (z − 1)
∞
0
φ(k)(x)dx
−
φ(k−1)(0)
(k − 1)!
= −
1
(k − 1)!
∞
0
log x
φ(k)(x)dx
+ lim
z→0
⎛
⎝
φ(k−1)(0)
z
⎡
⎣
k−1
j=1
1
j − z
−
1
(k − 1)!
⎤⎞
⎦⎠
= −
1
(k − 1)!
∞
0
log x
φ(k)(x)dx
+ lim
z→0
φ(k−1)(0)
Ψk(z) − Ψk(0)
z
= −
1
(k − 1)!
∞
0
log x
φ(k)(x)dx
+ Ψk(0)
φ(k−1)(0)
= −
1
(k − 1)!
∞
0
log x
φ(k)(x)dx
+
φ(k−1)(0)
(k − 1)!
k−1
j=1
1
j
,
where we have set Ψk(z) :=
k−1
j=1
1
j−z
and used (1.10).
